Szenario zur Entstehung des Standardfehlers des arithmetischen Mittelwertes
1. Simulation der Entstehung einer Mittelwertsverteilung
Starten Sie die Simulation unter der Standardeinstellung aller Sliderwerte. Klicken Sie dafür auf den Startbutton rechts unterhalb des Sliders „Anzahl der Stichproben“.
Es erfolgt die Ziehung von Zufallsstichproben aus einer Grundgesamtheit von 100.000 Werten mit einem Mittelwert von μ = 25. Die Mittelwerte aller gezogenen Stichproben werden in das Diagramm eingezeichnet. Beobachten Sie die Entstehung der Mittelwertsverteilung und die Veränderung der Parameter der Stichproben in der Legende. Stoppen Sie die Simulation hierzu ungefähr bei folgenden Werten der Stichprobenanzahl durch Anklicken des Stop-Buttons: 1, 20, 100, 500. Was können Sie beobachten?
Die Erhöhung der Stichprobenanzahl führt dazu, dass die Verteilung der Mittelwerte der gezogenen Stichproben immer stärker einer Normalverteilung entspricht. Zudem nähern sich der Wert des Mittelwertes der Mittelwerte aller gezogenen Stichproben immer stärker dem Mittelwert der Grundgesamtheit μ = 25 an. Die Standardabweichung dieser Mittelwerte s(x) stellt eine Schätzung für den Standardfehler des Mittelwertes dar und nähert sich diesem, bei einer großen Stichprobenanzahl, ebenfalls an.
2. Einfluss der Stichprobengröße
Verändern Sie die Stichprobengröße aller gezogenen Stichproben durch Manipulation des entsprechenden Sliders. Wählen Sie dazu folgende Werte: 20, 100, 200. Welche Veränderungen können Sie beobachten?
Durch die Erhöhung der Stichprobengröße nimmt der Standardfehler des Mittelwertes ab und die Mittelwertsverteilung wird schmaler.
3. Einfluss der Standardabweichung der Grundgesamtheit
Stellen Sie den Wert der Stichprobengröße zurück auf 50. Verändern Sie nun die Standardabweichung der Grundgesamtheit schrittweise durch Manipulation des entsprechenden Sliders bis zum Wert 10. Was fällt Ihnen auf?
Durch die Erhöhung der Standardabweichung der Grundgesamtheit nimmt der Standardfehler des Mittelwertes zu und die Mittelwertsverteilung wird breiter.
4. Konfidenzintervall des Mittelwertes
Aktivieren Sie unter der Überschrift Anzeigeoptionen die Normalverteilungskurve und die Darstellung des Standardfehlers. Welcher Bereich wird nun durch die hellgrüne Fläche der Abbildung gekennzeichnet?
Die grüne Fläche entspricht dem Bereich der Mittelwertsverteilung in welchem sich rund 95.5 % aller Werte dieser Verteilung befinden. Die untere Grenze dieses Bereichs hat den Wert μ – 2*σ x und die obere Grenze dieses Bereichs befindet sich an der Stelle μ + 2*σ x.
Wählen Sie nun anstatt der Einstellung Mittelwert ± 2 Standardfehler die Option Mittelwert ± 1 Standardfehler. Welche Veränderung tritt auf?
Die grüne Fläche innerhalb der Abbildung wird kleiner. Nur 68,3 % aller Werte der Mittelwertsverteilung befinden sich innerhalb dieses Bereichs, welcher die untere Grenze μ – σ x und die obere Grenze μ + σ x besitzt.