Szenario zur Erkundung der Eigenschaften der t-Verteilung
1. Entstehung der t-Verteilung
Starten Sie die App unter den Standardeinstellungen aller Sliderwerte. Wenn Sie bereits Veränderungen vorgenommen haben, können Sie die Standardeinstellungen wiederherstellen, indem Sie die Seite neu laden.
Klicken Sie nun auf den Playbutton rechts unterhalb des Sliders „Anzahl der Stichproben“, um die Simulation der Entstehung der t-Verteilung zu starten und beobachten Sie die entstehende Verteilung. Woher kommen die Werte, die ins Histogramm eingetragen werden?
Durch das Starten der Simulation werden wiederholt Stichproben aus einer Grundgesamtheit mit dem Mittelwert 0 und einer Standardabweichung von 1 gezogen. Die Parameter der Grundgesamtheit sind rechts oben neben dem Histogramm dargestellt. Die Stichprobengröße beträgt dabei unter aktuellen Slidereinstellungen 5.
Anschließend an jede Stichprobenziehung wird ein t-Wert entsprechend der rechts des Histogramms abgebildeten Formel berechnet. In der Formel steht x̅ für den Mittelwert der Stichprobe, μ für den Mittelwert der Grundgesamtheit, s für die Standardabweichung der Stichprobe und n für die Stichprobengröße. Der t-Wert ist somit ein standardisiertes Maß für die Abweichung des Stichprobenmittelwerts vom Mittelwert der Grundgesamtheit.
Die so berechneten t-Werte werden schließlich im Histogramm dargestellt.
2. Freiheitsgrade
Lassen Sie im Histogramm eine theoretische t-Verteilung darstellen, indem Sie unter der Überschrift „Anzeigeoptionen“ die Checkbox „theoretische Verteilung anzeigen“ aktivieren. Die t-Verteilung ist von einem einzigen Parameter – den Freiheitsgraden – abhängig. Sie sehen die Freiheitsgrade rechts neben dem Histogramm dargestellt. Mithilfe welcher Größe werden diese berechnet?
Die Berechnung der Freiheitsgrade ergibt sich aus der Stichprobengröße minus 1.
Variieren Sie diese Größe mit dem entsprechend benannten Slider und beobachten Sie, wie sich diese Manipulation auf die Form der t-Verteilung auswirkt.
Tipp: Betrachten Sie insbesondere niedrige Werte des Sliders.
Je größer die Stichprobe gewählt wird, desto schmaler und höher wird die t-Verteilung. Das bedeutet, dass bei einer großen Stichprobe extreme t-Werte seltener werden. Die t-Verteilung nähert sich mit steigender Stichprobengröße der Standardnormalverteilung an.
3. Quantile
Quantile sind Werte, unterhalb derer ein bestimmter Anteil der Fläche der Verteilung liegt. Beim Signifikanztesten werden sie genutzt, um den Ablehnungsbereich der Nullhypothese zu bestimmen. Aktivieren Sie die Checkbox „Quantile anzeigen“ unter der Überschrift „Anzeigeoptionen“, um ausgewählte Quantile der t-Verteilung betrachten zu können.
Behalten Sie die automatisch ausgewählte einseitige Fragestellung bei. Mit der vorgegebenen Standardeinstellung von 95% unter „Ausgewählte Quantile“ Sehen Sie in der Grafik das 95%-Quantil der t-Verteilung abgebildet. Oberhalb dieses Quantils liegen 5% der Werte. Diese bilden den Ablehnungsbereich beim Signifikanztesten. Rechts neben der Grafik befindet sich außerdem der entsprechende t-Wert des gewählten Quantils.
Klicken Sie unter „Ausgewählte Quantile“ neben der Standardeinstellung von 95% nacheinander auch die 90%- und die 99%-Option an. Wie verändert sich die Lage des Quantils?
Je kleiner der gewählte Prozentsatz an Werten ist, das heißt, je größer die Fläche des Ablehnungsbereichs gewählt wird, desto weiter rückt das entsprechende Quantil nach links.
b) Zweiseitige Fragestellung
Kehren Sie zurück zur 95%-Option unter „Ausgewählte Quantile“. Wählen Sie nun unter „Fragestellung“ die Option „zweiseitig“. Welche Veränderung können Sie an der Fläche des Ablehnungsbereichs beobachten?
Durch die Auswahl einer zweiseitigen Fragestellung wird die Größe des Ablehnungsbereichs auf beide Enden der Verteilung aufgeteilt. Somit wird für einen Ablehnungsbereich von 5% der Werte der Verteilung nicht mehr das 95%-Quantil berechnet, sondern das 2,5%-Quantil und das 97,5%-Quantil. Folglich werden die 5% der Gesamtfläche auf je 2,5% am oberen und am unteren Ende der Verteilung aufgesplittet.
c) Einfluss der Stichprobengröße
Behalten Sie die aktuellen Einstellungen unter „Quantile anzeigen“ bei und variieren Sie die Stichprobengröße. Beobachten Sie, wie diese sich auf die Lage der Quantile auswirkt.
Tipp: Betrachten Sie insbesondere kleine Stichprobengrößen.
Je kleiner die Stichprobe ist, umso (betragsmäßig) größere t-Werte resultieren für die Quantile. Das liegt an der Form der Verteilung, die in Abhängigkeit von den Freiheitsgraden für kleinere Stichproben breiter und flacher wird. Dadurch liegen die extremsten 5% der Fläche weiter außen.