Szenario zur Erkundung der Eigenschaften der F-Verteilung
1. Entstehung der F-Verteilung
Starten Sie die App unter den Standardeinstellungen aller Sliderwerte. Wenn Sie bereits Veränderungen vorgenommen haben, können Sie die Standardeinstellungen wiederherstellen, indem Sie die Seite neu laden.
Erhöhen Sie nun schrittweise den Wert des Sliders „Anzahl der Stichproben“ und beobachten Sie, wie die F-Verteilung sich aufbaut. Wie entstehen die Werte, die in das Histogramm eingetragen werden?
Für die Entstehung der F-Verteilung werden wiederholt Stichproben aus je einer Grundgesamtheit pro Gruppe mit dem Mittelwert 0 und einer Standardabweichung von 1 gezogen. Die Parameter der Grundgesamtheiten sind rechts oben neben dem Histogramm abgebildet. Die Stichproben sind unter den aktuellen Slidereinstellungen in zwei Gruppen unterteilt, die jeweils 5 Datenpunkte umfassen.
Nach jeder Stichprobenziehung wird ein F-Wert berechnet, der die Varianz zwischen den Gruppen mit der Varianz innerhalb der Gruppen ins Verhältnis setzt. Dafür wird die rechts neben dem Diagramm abgebildete Formel genutzt. Der F-Wert gibt Auskunft über die Unterschiedlichkeit der Gruppen.
Die so ermittelten F-Werte werden im Histogramm eingetragen.
2. Freiheitsgrade
Stellen Sie auf dem Slider „Anzahl der Stichproben“ den maximalen Wert ein und lassen Sie anschließend im Histogramm eine theoretische F-Verteilung darstellen, indem Sie unter der Überschrift „Anzeigeoptionen“ die Checkbox „theoretische Verteilung anzeigen“ aktivieren. Die F-Verteilung ist von zwei Parametern – den Freiheitsgraden innerhalb und zwischen den Gruppen – abhängig. Sie sehen die Freiheitsgrade rechts neben dem Histogramm dargestellt. Mithilfe welcher Größen werden diese berechnet?
Die Anzahl der Freiheitsgrade zwischen den Gruppen ergibt sich aus der Anzahl der Gruppen minus 1. Die Freiheitsgrade innerhalb der Gruppen berechnet man aus der Gesamtanzahl der Messwerte minus die Anzahl der Gruppen.
Variieren Sie die beiden Größen mit den entsprechend benannten Slidern und beobachten Sie die Auswirkungen dieser Manipulation auf die Form der F-Verteilung.
Die Anzahl der Gruppen wirkt sich stark auf die Form der Verteilung aus. Eine geringe Anzahl an Gruppen gibt der F-Verteilung eine monoton fallende Form. Bei größeren Anzahlen an Gruppen besitzt die F-Verteilung ein Maximum, das sich mit der Gruppenanzahl nach rechts verschiebt.
Die Gruppengröße wirkt sich ebenfalls auf die Form der F-Verteilung aus, jedoch ist dies in der App nur in geringem Maße sichtbar. Der direkte Vergleich einer sehr kleinen mit einer sehr großen Gruppengröße zeigt, dass das die F-Verteilung etwas schmaler und höher wird.
3. Quantile
Quantile sind Werte, unterhalb derer ein bestimmter Anteil der Fläche der Verteilung liegt. Beim Signifikanztesten können sie genutzt werden, um den Ablehnungsbereich der Nullhypothese zu bestimmen. Aktivieren Sie die Checkbox „Quantile anzeigen“ unter der Überschrift „Anzeigeoptionen“, um ausgewählte Quantile der F-Verteilung betrachten zu können. Nutzen Sie beispielhaft folgende Sliderwerte:
- Anzahl der Stichproben: 300
- Anzahl der Gruppen: 4
- Gruppengröße: 50
Mit der vorgegebenen Standardeinstellung von 95% unter „Ausgewählte Quantile“ sehen Sie in der Grafik das 95%-Quantil der F-Verteilung abgebildet, sodass 5% der Werte oberhalb dieses Quantils liegen. Rechts neben der Grafik befindet sich außerdem der entsprechende F-Wert des gewählten Quantils.
Klicken Sie unter „Ausgewählte Quantile“ neben der Standardeinstellung von 95% nacheinander auch die 90%- und die 99%-Option an. Wie verändert sich die Lage des Quantils?
Je größer der Prozentsatz des Wertes, das heißt, je kleiner die Fläche des Ablehnungsbereichs gewählt wird, desto weiter rückt das entsprechende Quantil nach rechts.
b) Einfluss der Gruppengröße
Kehren Sie zurück zur 95%-Option unter „Ausgewählte Quantile“ und variieren Sie als nächstes die Gruppengröße. Wie wirkt sich diese auf die Lage des Quantils aus?
Je kleiner die Gruppengröße ist, desto höhere F-Werte resultieren für das 95%-Quantil. Das liegt an der Form der Verteilung, die in Abhängigkeit von den Freiheitsgraden bei kleineren Gruppen breiter und flacher wird. Dadurch liegen die extremsten 5% der Fläche weiter außen.
c) Einfluss der Anzahl der Gruppen
Setzen Sie den Slider zur Gruppengröße zurück auf den Wert 50. Verändern Sie nun die Anzahl der Gruppen und beobachten Sie, welchen Einfluss diese auf die Lage des 95%-Quantils nimmt.
Je mehr Gruppen es gibt, desto geringer wird der F-Wert für das 95%-Quantil. Das liegt daran, dass bei einer größeren Gruppenanzahl die Form der F-Verteilung schmaler wird. Dadurch beginnen die extremsten 5% der Fläche der Verteilung schon bei einem relativ geringeren F-Wert.