Szenario zur Erkundung der App zur Stichprobenumfangsplanung
1. Parameter der Grundgesamtheiten
Starten Sie die App unter den Standardeinstellungen aller Sliderwerte. Wenn Sie bereits Veränderungen vorgenommen haben, können Sie die Standardeinstellungen wiederherstellen, indem Sie die Seite neu laden.
Setzen Sie jeweils einen Haken in die Checkboxen „H0“, „H1“ und „Grundgesamtheit(en) anzeigen“ unter der Überschrift „Grundgesamtheit, aus der gezogen wird“. Dadurch wird im Ausgabebereich ganz oben ein Histogramm der beiden Grundgesamtheiten dargestellt. Rechts neben der Abbildung sehen Sie den jeweiligen Mittelwert und die Standardabweichung der Verteilungen.
Variieren Sie die Einstellung des Sliders „|μ0 - μ1|“. Was können Sie beobachten?
Der Slider „|μ0 - μ1|“ gibt den Mittelwertsunterschied der beiden Grundgesamtheiten an. Je größer dieser Mittelwertsunterschied ist, desto weiter rücken die Verteilungen auseinander. In der App ist der Mittelwert der H0 festgelegt auf den Wert 25. Der Mittelwert der H1 ergibt sich durch Addition des Mittelwertsunterschiedes zum Mittelwert der H0.
b) Standardabweichung
Setzen Sie den Wert des Sliders „|μ0 - μ1|“ zurück auf den ursprünglichen Wert von 2 und variieren Sie als Nächstes die Einstellung des Sliders „σ der Grundgesamtheiten“. Welche Veränderungen können Sie beobachten?
Der Slider „σ der Grundgesamtheiten“ gibt die Standardabweichung der Grundgesamtheiten an. Je größer die Standardabweichung ist, desto breiter und flacher werden die dargestellten Verteilungen.
Setzen Sie den Slider „σ der Grundgesamtheiten“ auf den ursprünglichen Wert von 7 zurück.
Unter dem Histogramm der Grundgesamtheiten befindet sich ein Histogramm der Mittelwerte von Zufallsziehungen aus diesen Grundgesamtheiten. Die Verteilung dieser Mittelwerte kann als Stichprobenverteilung bezeichnet werden. Zu Beginn wurde eine Stichprobe gezogen. Erhöhen Sie die Anzahl der Stichproben mittels des so benannten Sliders schrittweise bis zum maximalen Wert. Was können Sie im Histogramm der Stichprobenverteilungen beobachten?
Mit steigender Anzahl der Stichproben wird die Stichprobenverteilung höher und nimmt zunehmend die Form einer Normalverteilung an.
b) Stichprobengröße
Belassen Sie die Einstellung des Sliders „Anzahl der Stichproben“ beim zuvor eingestellten maximalen Wert von 700. Erhöhen Sie nun schrittweise die Größe der Stichproben mit dem Slider „Stichprobengröße (n)“. Wie verändert sich die Stichprobenverteilung durch diese Manipulation?
Je größer die Stichprobe ist, desto höher und schmaler wird die Stichprobenverteilung. Das heißt, dass ihre Standardabweichung (der Standardfehler) sich verringert.
c) Relation der Stichprobenparameter zu den Parametern der Grundgesamtheit
Betrachten Sie nun die Werte der Parameter der Stichproben, die rechts neben dem Histogramm dargestellt werden. In welchem Verhältnis stehen Mittelwert und Standardabweichung der Stichprobenverteilungen zu den entsprechenden Parametern der Grundgesamtheiten?
Lassen Sie die beiden Slider unter der Überschrift „Stichprobenparameter“ unverändert bei ihren maximalen Werten und variieren Sie zunächst den Slider „|μ0 - μ1|“. Wie spiegeln sich die Mittelwerte der Grundgesamtheiten in den Mittelwerten der Stichprobenverteilungen wider?
Der Mittelwert der Stichprobenverteilung entspricht recht genau dem Mittelwert der Grundgesamtheit.
Setzen Sie den Slider „|μ0 - μ1|“ zurück auf den Wert 2 und manipulieren Sie nun den Wert des Sliders „σ der Grundgesamtheiten“. Wie wirkt sich diese Veränderung der Standardabweichung der Grundgesamtheit auf die Standardabweichung der Stichprobenverteilung aus?
Die Standardabweichung der Stichprobenverteilung kovariiert mit der Standardabweichung der Grundgesamtheit. Das heißt, je größer die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist, desto größer ist auch die Standardabweichung der Stichprobenverteilung.
Kehren Sie zurück zur Einstellung des Wertes 7 auf dem Slider „σ der Grundgesamtheiten“. Verändern Sie nun die Stichprobengröße. Was können Sie bezüglich der Standardabweichung der Stichprobenverteilung beobachten?
Die Standardabweichung der Stichprobenverteilung ist kleiner als die der Grundgesamtheit. Sie lässt sich schätzen, indem man die Standardabweichung der Grundgesamtheit durch die Wurzel der Stichprobengröße teilt. Diese Schätzung ist umso zutreffender, je größer die Stichprobe ist.
Wählen Sie beispielhaft eine Stichprobengröße von 70 und aktivieren Sie die Checkbox „Zeige Normalverteilungskurve“ unter der Überschrift „Anzeigeoptionen“. Letztere Aktion lässt drei weitere Checkboxen erscheinen. Aktivieren Sie die mittlere davon, um den Fehler 1. und 2. Art anzeigen zu lassen. Sie sehen nun die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. und 2. Art sowohl als Fläche im Histogramm als auch als Wert rechts neben der Grafik dargestellt. Wie sind diese Werte inhaltlich zu interpretieren?
Die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese abzulehnen, obwohl sie zutreffend ist. Die Wahrscheinlichkeit des Betafehlers hingegen ist die Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese nicht abzulehnen, obwohl die Alternativhypothese zutreffend ist.
Verändern Sie das Signifikanzniveau von den eingestellten 5% auf 1%. Wie verändert sich dadurch die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art?
Die Wahrscheinlichkeit des Betafehlers wird umso größer, je kleiner das Signifikanzniveau ist. Daher sollte bei der Planung von Studien zwischen der Wahrscheinlichkeit des Alpha- und des Betafehlers unter inhaltlichen Gesichtspunkten abgewogen werden.
4. Einflussgrößen auf die Teststärke
Stellen Sie wieder ein Signifikanzniveau von 5% ein und aktivieren Sie die Checkboxen „Zeige Teststärke (1 – β)“ und „Zeige Teststärkediagramm“. Im Histogramm der Stichprobenverteilungen wird nun die Teststärke als Fläche und rechts daneben als Wert angezeigt. Zudem erscheint im oberen Bereich des Ausgabefensters ein Diagramm der Teststärke in Abhängigkeit von der Stichprobengröße anstelle des Histogramms der Grundgesamtheiten. Rechts neben diesem Diagramm sind die verschiedenen Einflussgrößen auf die Teststärke mit entsprechenden Werten gelistet. Außerdem wird ein geschätzter Wert für die Teststärke unter Einbezug der aktuellen Stichprobengröße berechnet. Dieser Wert kann von dem durch Zufallsziehungen ermittelten Wert, der neben der unteren Grafik angezeigt wird, abweichen. Variieren Sie nun nacheinander die gelisteten Einflussgrößen, um deren Effekt auf die Teststärke zu beobachten.
Manipulieren Sie den Slider „Stichprobengröße (n)“. Die aktuelle Stichprobengröße wird im Teststärkediagramm als grünes Kreuz dargestellt. Welcher Zusammenhang besteht zwischen Stichprobengröße und Teststärke?
Je größer die Stichprobe ist, desto höher ist die Teststärke.
b) Signifikanzniveau
Unter der Checkbox „Zeige Fehler 1. und 2. Art“ können Sie ein Signifikanzniveau von 1% oder 5% auswählen. Wie wirkt sich die Auswahl auf die Teststärke aus?
Je geringer (kleinerer Wert) das Signifikanzniveau ist, desto geringer ist auch die Teststärke.
c) Mittelwertsunterschied
Der Mittelwertsunterschied der Grundgesamtheiten kann mit dem Slider „|μ0 - μ1|“ manipuliert werden. Was bewirkt eine Erhöhung oder Verringerung des Mittelwertsunterschiedes?
Je größer der Mittelwertsunterschied ist, desto höher ist die Teststärke.
d) Standardabweichung der Grundgesamtheiten
Verändern Sie die Standardabweichung der Grundgesamtheiten mit dem entsprechenden Slider und beobachten Sie deren Einfluss auf die Teststärke.
Je höher die Standardabweichung der Grundgesamtheiten ist, desto geringer ist die Teststärke.