Faktorenanalyse und Rotationsverfahren
1. Ergebnisse einer Faktorenanalyse
Stellen Sie die Standardeinstellungen der App wieder her, indem Sie gegebenenfalls die Seite erneut laden. Wählen Sie im Menü zwölf zu extrahierenden Faktoren aus und betrachten Sie die Ergebnisse der Hauptkomponentenanalyse sowie den Screeplot. Was fällt Ihnen bezüglich der Varianzaufklärung der einzelnen Komponenten und den Kommunalitäten der Variablen auf? Erkennen Sie einen Zusammenhang zum dargestellten Screeplot?
Der Datensatz besteht aus 12 standardisierten Variablen und es werden insgesamt 12 Faktoren extrahiert. Die Varianz der Variablen wird somit komplett durch die extrahierten Faktoren erklärt. Die Kommunalität aller Variablen beträgt also 1 und die Summe der Varianzaufklärung aller Faktoren 12. Im vorliegenden Beispiel erklären besonders die ersten beiden Faktoren viel Varianz. Dies wird auch im Screeplot deutlich.
2. Einfluss der Anzahl der zu extrahierenden Faktoren auf die Ergebnisse einer Faktorenanalyse
Reduzieren Sie nun die Anzahl der zu extrahierenden Faktoren. Welche Veränderungen resultieren?
Die Varianzaufklärungen der extrahierten Faktoren bleiben unverändert. Die Kommunalitäten der Variablen sinken.
3. Einfluss der Eigenschaften des Datensatzes auf die Ergebnisse einer Faktorenanalyse
Erhöhen Sie die Anzahl der zu extrahierenden Faktoren wieder auf den Wert 12. Verändern Sie nun den der Hauptkomponentenanalyse zugrundeliegenden Datensatz.
Variieren Sie zunächst die Anzahl der Untergruppen von Variablen im Datensatz. Was fällt Ihnen auf?
Je mehr Untergruppen im ursprünglichen Datensatz vorhanden sind, desto mehr Faktoren müssen extrahiert werden, um eine relativ hohe Varianzaufklärung der Ausgangsvariablen zu realisieren.
Verändern Sie auch die Korrelation zwischen den Untergruppen und die Korrelation innerhalb der Untergruppen systematisch. Können Sie erkennen, unter welchen Bedingungen der Zusammenhang zwischen der Anzahl der Untergruppen und der Anzahl der Komponenten, welche besonders viel Varianz aufklären, besonders hoch ist?
Ist die Korrelation zwischen den Untergruppen sehr gering und die Korrelation innerhalb der Untergruppen sehr hoch, entspricht die Anzahl der im Datensatz enthaltenen Untergruppen sehr eindeutig der Anzahl der Faktoren, welche besonders viel Varianz erklären.
b) Korrelation zwischen den Untergruppen
Wählen Sie für die Anzahl der Untergruppen nun den Wert 3. Die Korrelation innerhalb der Untergruppen sollte 0.8 betragen. Variieren Sie die Korrelation zwischen den Untergruppen. Was beobachten Sie?
Die aktuellen Einstellungen führen dazu, dass die ersten drei extrahierten Faktoren den größten Anteil der Varianz erklären. Je geringer die Korrelation zwischen den Untergruppen ist, desto ähnlicher ist der Anteil der Varianzaufklärung dieser drei Faktoren. Ist die Korrelation zwischen den Untergruppen höher, unterscheidet sich der Anteil der Varianzaufklärung zwischen den drei Faktoren stärker.
c) Korrelation innerhalb der Untergruppen
Setzen Sie die Korrelation zwischen den Gruppen zurück auf den Wert 0.3 und variieren Sie die Korrelation innerhalb der Untergruppen. Welche Veränderungen resultieren?
Je höher die Korrelation innerhalb den Untergruppen ist, desto mehr Varianz kann durch wenige Faktoren erklärt werden.
4. Bestimmung der optimalen Faktorenanzahl
Stellen Sie die Standardeinstellungen der App wieder her, indem Sie die Seite erneut laden. Im Folgenden soll die optimale Anzahl an zu extrahierenden Faktoren bestimmt werden.
Klicken Sie unter der Überschrift Optimale Faktorenanzahl bestimmen das Kästchen Parallelanalyse an. Welche optimale Faktorenanzahl wird aktuell durch dieses Verfahren ermittelt? Haben Sie eine Vermutung wie dieser Wert durch dieses Verfahren ermittelt wird?
Die Parallelanalyse ermittelt eine optimale Faktorenanzahl von 2. Sie vergleicht den Eigenwertverlauf der Hauptkomponenten, welcher aus dem vorliegenden Datensatz ermittelt wurde mit dem Eigenwertverlauf, der sich bei einer Hauptkomponentenanalyse von normalverteilten Zufallsvariablen ergeben würde. Dieser Eigenwertverlauf wird im Screeplot durch eine grüne Linie dargestellt. Die Anzahl der Faktoren (ermittelt aus den Ausgangsdaten), bei welcher der Eigenwert größer ist als der Eigenwert der Simulation, entspricht der optimalen Faktorenanzahl.
b) Kaiser-Guttman-Kriterium
Aktivieren Sie zusätzlich die Anzeige des Kaiser-Guttman-Kriteriums. Welche optimale Faktorenanzahl wird mithilfe dieses Kriteriums bestimmt? Wie wird die optimale Faktorenanzahl mithilfe des Kaiser-Guttman-Kriteriums ermittelt?
Die Anwendung des Kaiser-Guttman-Kriteriums führt zur Ermittlung einer optimalen Faktorenanzahl von 2. Es spricht der Anzahl an Faktoren mit einem Eigenwert größer als 1.
c) Bestimmung der optimalen Faktorenanzahl mithilfe verschiedener Verfahren
Im aktuellen Beispiel führen die Anwendung einer Parallelanalyse und die Verwendung des Kaiser-Guttman-Kriteriums bezüglich der optimalen Faktorenanzahl zum gleichen Ergebnis. Ist dies immer der Fall? Überprüfen Sie Ihre Vermutung durch systematische Veränderungen des Datensatzes.
Verschiedene Verfahren zur Ermittlung der optimalen Faktorenanzahl führen oft zum gleichen Ergebnis. Teilweise können diese jedoch auch variieren, dies tritt in dieser Simulation zum Beispiel bei folgender Einstellung auf: Anzahl der Untergruppen = 4 ; Korrelation zwischen den Untergruppen = 0.4 ; Korrelation innerhalb der Untergruppen = 0.6
5. Rotationsverfahren
Stellen Sie die Standardeinstellungen der App wieder her, indem Sie die Seite erneut laden. Nun sollen Veränderungen der Ergebnisse der Faktorenanalyse durch verschiedene Rotationsverfahren veranschaulicht werden.
Wählen Sie zwei zu extrahierende Faktoren im Menü aus. Aktivieren Sie nun eine orthogonale Rotation. Welche Veränderungen treten auf?
Die Faktorladungen sowie der Anteil der Faktoren an der Varianzaufklärung der Ausgangsvariablen verändert sich. Das Ziel der Rotation der ermittelten Faktoren ist, dass möglich viele Variablen hoch auf jeweils einem Faktor laden und ihre Faktorladungen auf den anderen Faktoren Werte nahe Null annehmen, sodass sie jeweils relativ eindeutig einem bestimmten Faktor zugeordnet werden können. Dieses Ergebnis ist eingetreten. Die Summe der durch alle Faktoren aufgeklärten Varianz veränderte sich nicht. Auch die Kommunalitäten der Variablen sind identisch zu den Ergebnissen vor der Rotation.
b) Schiefwinklige Rotation
Wählen Sie nun bitte eine schiefwinklige Rotation der extrahierten Faktoren aus. Welche Veränderungen erkennen Sie?
Die Faktorladungen sowie der Anteil der einzelnen Faktoren an der Varianzaufklärung der Ausgangsvariablen verändert sich. Die Variablen lassen sich basierend auf den Faktorladungen noch eindeutiger jeweils einem Faktor zuordnen, als dies durch die orthogonale Rotation möglich ist.